domingo, 10 de outubro de 2010

Lógica Matemática

1. Conceito de Proposição:
Definição: todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo, ou seja, uma oração declarativa que afirma
ou exprime juízo sobre determinado ente e que podemos classificá-la como
verdadeira ou falsa.

Exemplos:
a. Buenos Aires é a capital da Argentina.
b. Pelé é piloto de formula 1.
c. O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.
d. 5 > 8.

São dois os axiomas adotados pela lógica matemática, as saber:
a. Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo.
b. Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é
falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

2. Valor Lógico de uma Proposição:
Definição: chama-se valor lógico de uma proposição a Verdade se a
proposição é verdadeira e a Falsidade se a proposição é falsa, representada
respectivamente pelas letras V e F.
Atentemos para o fato do que nos diz os axiomas a e b:
Toda proposição tem um, e um só, dos valores lógicos V e F.
Observemos que os exemplos a e c da seção 1 são Verdadeiros enquanto que
b e d são falsos.
Mais exemplos:
a. 2 > 1. ( V )
b. Sócrates foi um grande filósofo alemão. ( F )

3. Proposições Simples e Proposições Compostas:
Definição: chama-se proposição simples aquela que não tem nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma. São designadas pelas letras
minúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
q: 13 é um número ímpar.
p: Maria estuda pedagogia.
r: A Lua é satélite da Terra.

Definição: chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de
duas ou mais proposições. São comumente designadas pelas letras
maiúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
P: Pitágoras é careca e Maria é estudante de pedagogia.
Q: Se João é careca então é feliz.
R: Ou Maria é estudante de pedagogia ou 4 é número par.
Em si tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor
lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes,
se faz com base no seguinte princípio:

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos
valores das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente
determinado.

4. Tabela Verdade:
Partindo-se do Princípio do Terceiro Excluído que admite que para o valor
lógico de uma proposição existem apenas duas possibilidades, verdadeira ou
falsa, e observando o Princípio de determinação do valor lógico de uma
proposição composta mostrado na seção anterior, podemos conhecer o valor
lógico de uma proposição composta recorrendo a um dispositivo denominado
tabela verdade, na qual figuram todos os valores lógicos da proposição
composta correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos
às proposições simples componentes.
Por exemplo:
Proposição composta formada por duas proposições simples

p
q
1
V
V
2
V
F
3
F
V
4
F
F

Proposição composta formada por três proposições simples


p
q
r
1
V
V
V
2
V
V
F
3
V
F
V
4
V
F
F
5
F
V
V
6
F
V
F
7
F
F
V
8
F
F
F

Na tabela verdade, cada linha a partir da linha 1, representa uma das possíveis
atribuições de valores lógicos das proposições simples componentes, formando
assim todos os arranjos possíveis. Observemos também que o número de
linhas da tabela está em função do número de proposições simples,
obedecendo à seguinte lei:

2^n, ∀ n ∈ ℕ e n representando número de proposições simples componentes

5. Conectivos e Operações Lógicas Sobre Proposições.
Definição: chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas
proposições a partir de outras:
P: O número 3 é impar e o número 6 é par.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles.
R: Não está nublado.
S: Se está nevando então está fazendo frio.
T: O triângulo ABC e eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.
As palavras grifadas são os conectivos em Lógica Matemática. A seguir
veremos cada um deles e como se procede às respectivas operações:

5.1 Negação
Definição: chama-se negação de uma proposição p a proposição representada
por “~p”, cujo valor lógico é o contrário do valor lógico da proposição p, ou seja,
quando p é verdade, ~p é falsa e vice-versa.
Tabela Verdade para Negação:

p
~p
V
F
F
V

5.2 Conjunção
Definição: chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando a proposição
p e a proposição q são verdadeiras e a falsidade nos demais casos.
Simbolicamente a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a
notação “p ∧ q” que se lê “p e q”.
Tabela Verdade representativa da Conjunção:

p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 2 < 5. (V)
r: 3,14 > 4. (F)
s: Fermat era médico. (F)
Então as proposições compostas a seguir segundo a tabela verdade para
conjunção, ficam assim:
P = p ∧ q: A neve é branca e 2 < 5. (V)
Q = r ∧ s: 3.14 > 4 e Fermat era médico: (F)
R = q ∧ r: 2 < 5 e 3,14 > 4. (F)

5.3 Disjunção
Definição: chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos
uma das proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) quando as
proposições p e q são ambas falsas. Denotaremos simbolicamente a disjunção
por “p ∨ q”, que se lê “p ou q”.
Observando a definição, temos a seguinte tabela verdade para a
disjunção:

p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 7 é quadrado perfeito. (F)
r: Brasília é a capital do Brasil. (V)
s: O sol gira em torno da Terra. (F)
Então as proposições compostas a seguir, formada pelas proposições simples
anteriores, ficam assim segundo a tabela verdade da disjunção:
P = p ∨ q. (V)
Q = q ∨ r. (V)
R = q ∨ s. (F)
S = p ∨ r. (V)

5.4 Condicional
Definição: chama-se condicional uma proposição representada por “se p então
q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é
falsa, e a verdade (V) nos demais casos. Em símbolos, a condicional de duas
proposições p e q indica-se por “p → q” que se lê também das seguintes
formas:
i. p é condição suficiente para q.
ii. q é condição necessária para p.
Assim, temos a seguinte tabela verdade:

p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V

Exemplos:
Sejam as seguintes proposições simples:
p: 7 é primo. (V)
q: 5 é par. (F)
r: Salvador é a capital da Bahia. (V)
s: o Sol gira em torno da Terra. (F)
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das proposições
simples anteriores:
P = p → q. (F)
Q = s → r. (V)
R = q → s. (V)
S = r → p. (V)

5.5 Bicondicional
Definição: chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional um
proposição representada por “p se, e somente se, q” cujo valor lógico é a
verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a
falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente, a bicondicional indica-se por “p ↔ q” e pode ser lida também
das seguintes formas:
i. p é condição necessária e suficiente para q.
ii. q é condição necessária e suficiente para p.
Segue a tabela verdade para a condicional:

p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V

Exemplos:
Sejam as proposições simples da seção anterior.
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das simples:
P = p ↔ q. (F)
Q = s ↔ r. (F)
R = q ↔ s.(V)
S = r ↔ p. (V)

Exemplos Gerais:
(CETRO / FUNAI – 2010). Sabe-se que Aline estar viajando é condição
necessária para Sandra trabalhar e condição suficiente para Virginia sair com
Lineu. Sabe-se, também, que Virgínia sair com Lineu é condição necessária e
suficiente para a Paula sair com Jean. Assim, quando Paula não sai com Jean:
A. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
B. Aline viaja, Sandra não trabalha e Virgínia sai com Lineu.
C. Aline não viaja, Sandra não trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
D. Aline viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
E. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia sai com Lineu.

Para este tipo de problema, muito comum em concursos, o primeiro passo para
compreendê-lo é identificar as proposições simples e compostas bem como
nomeá-las. Assim, temos:
p: Aline está viajando.
q: Sandra trabalha.
r: Virgínia sai com Lineu.
s: Paula sai com Jean.
De acordo com o enunciado, faremos agora a representação simbólica das
proposições compostas:
P: q → p
Q: p → r
R: r s
 

Faremos por partes:
Como R: r s é uma bicondicional, é verdadeira apenas se r e s são ambas
verdadeiras ou ambas falsas. Considerando as proposições p, q, r e s
verdadeiras, se Paula não sai com Jean, temos a negação da proposição s, ou
seja:

~s: Paula não sai com Jean.

Assim, para R: r s continuar verdadeira (verificar tabela verdade da
bicondicional) devemos então negar r, ou seja:


~r: Virgínia não sai com Lineu.

De cara observamos a eliminação das alternativas B e E, pois afirmam que
Virgínia sai com Lineu.

Continuando, temos:
Como Q: p → r é verdadeira, se tivermos a negação de r, necessariamente
temos que negar p para que Q: p → r continue sendo verdadeira, pois Q: p → r
é uma condicional (verificar tabela verdade para condicional), Assim:

~p: Aline não está viajando.

Mais uma vez eliminamos uma outra alternativa: a letra D que afirma que Aline
está viajando.

Dando seqüência, temos então:
Como P: q → p é uma condicional verdadeira, se tivermos a negação de p,
então devemos negar q, pois caso contrário P: q → p seria falsa (observar
tabela verdade da condicional), ou seja:

~q: Sandra não trabalha.

Assim, nos resta a opção C, que é no caso a opção correta




Referência Bibliográfica.

ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1986. 203 p.

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