Definição: todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo, ou seja, uma oração declarativa que afirma
ou exprime juízo sobre determinado ente e que podemos classificá-la como
verdadeira ou falsa.
Exemplos:
a. Buenos Aires é a capital da Argentina.
b. Pelé é piloto de formula 1.
c. O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.
d. 5 > 8.
São dois os axiomas adotados pela lógica matemática, as saber:
a. Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo.
b. Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é
falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
2. Valor Lógico de uma Proposição:
Definição: chama-se valor lógico de uma proposição a Verdade se a
proposição é verdadeira e a Falsidade se a proposição é falsa, representada
respectivamente pelas letras V e F.
Atentemos para o fato do que nos diz os axiomas a e b:
Toda proposição tem um, e um só, dos valores lógicos V e F.
Observemos que os exemplos a e c da seção 1 são Verdadeiros enquanto que
b e d são falsos.
Mais exemplos:
a. 2 > 1. ( V )
b. Sócrates foi um grande filósofo alemão. ( F )
3. Proposições Simples e Proposições Compostas:
Definição: chama-se proposição simples aquela que não tem nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma. São designadas pelas letras
minúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
q: 13 é um número ímpar.
p: Maria estuda pedagogia.
r: A Lua é satélite da Terra.
Definição: chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de
duas ou mais proposições. São comumente designadas pelas letras
maiúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
P: Pitágoras é careca e Maria é estudante de pedagogia.
Q: Se João é careca então é feliz.
R: Ou Maria é estudante de pedagogia ou 4 é número par.
Em si tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor
lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes,
se faz com base no seguinte princípio:
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos
valores das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente
determinado.
valores das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente
determinado.
4. Tabela Verdade:
Partindo-se do Princípio do Terceiro Excluído que admite que para o valor
lógico de uma proposição existem apenas duas possibilidades, verdadeira ou
falsa, e observando o Princípio de determinação do valor lógico de uma
proposição composta mostrado na seção anterior, podemos conhecer o valor
lógico de uma proposição composta recorrendo a um dispositivo denominado
tabela verdade, na qual figuram todos os valores lógicos da proposição
composta correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos
às proposições simples componentes.
Por exemplo:
Proposição composta formada por duas proposições simples
p | q | |
1 | V | V |
2 | V | F |
3 | F | V |
4 | F | F |
Proposição composta formada por três proposições simples
p | q | r | |
1 | V | V | V |
2 | V | V | F |
3 | V | F | V |
4 | V | F | F |
5 | F | V | V |
6 | F | V | F |
7 | F | F | V |
8 | F | F | F |
Na tabela verdade, cada linha a partir da linha 1, representa uma das possíveis
atribuições de valores lógicos das proposições simples componentes, formando
assim todos os arranjos possíveis. Observemos também que o número de
linhas da tabela está em função do número de proposições simples,
obedecendo à seguinte lei:
2^n, ∀ n ∈ ℕ e n representando número de proposições simples componentes
5. Conectivos e Operações Lógicas Sobre Proposições.
Definição: chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas
proposições a partir de outras:
P: O número 3 é impar e o número 6 é par.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles.
R: Não está nublado.
S: Se está nevando então está fazendo frio.
T: O triângulo ABC e eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.
As palavras grifadas são os conectivos em Lógica Matemática. A seguir
veremos cada um deles e como se procede às respectivas operações:
5.1 Negação
Definição: chama-se negação de uma proposição p a proposição representada
por “~p”, cujo valor lógico é o contrário do valor lógico da proposição p, ou seja,
quando p é verdade, ~p é falsa e vice-versa.
Tabela Verdade para Negação:
p | ~p |
V | F |
F | V |
5.2 Conjunção
Definição: chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando a proposição
p e a proposição q são verdadeiras e a falsidade nos demais casos.
Simbolicamente a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a
notação “p ∧ q” que se lê “p e q”.
Tabela Verdade representativa da Conjunção:
p | q | p ∧ |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 2 < 5. (V)
r: 3,14 > 4. (F)
s: Fermat era médico. (F)
Então as proposições compostas a seguir segundo a tabela verdade para
conjunção, ficam assim:
P = p ∧ q: A neve é branca e 2 < 5. (V)
Q = r ∧ s: 3.14 > 4 e Fermat era médico: (F)
R = q ∧ r: 2 < 5 e 3,14 > 4. (F)
5.3 Disjunção
Definição: chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos
uma das proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) quando as
proposições p e q são ambas falsas. Denotaremos simbolicamente a disjunção
por “p ∨ q”, que se lê “p ou q”.
Observando a definição, temos a seguinte tabela verdade para a
disjunção:
p | q | p ∨ q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 7 é quadrado perfeito. (F)
r: Brasília é a capital do Brasil. (V)
s: O sol gira em torno da Terra. (F)
Então as proposições compostas a seguir, formada pelas proposições simples
anteriores, ficam assim segundo a tabela verdade da disjunção:
P = p ∨ q. (V)
Q = q ∨ r. (V)
R = q ∨ s. (F)
S = p ∨ r. (V)
5.4 Condicional
Definição: chama-se condicional uma proposição representada por “se p então
q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é
falsa, e a verdade (V) nos demais casos. Em símbolos, a condicional de duas
proposições p e q indica-se por “p → q” que se lê também das seguintes
formas:
i. p é condição suficiente para q.
ii. q é condição necessária para p.
Assim, temos a seguinte tabela verdade:
p | q | p → q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
Exemplos:
Sejam as seguintes proposições simples:
p: 7 é primo. (V)
q: 5 é par. (F)
r: Salvador é a capital da Bahia. (V)
s: o Sol gira em torno da Terra. (F)
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das proposições
simples anteriores:
P = p → q. (F)
Q = s → r. (V)
R = q → s. (V)
S = r → p. (V)
5.5 Bicondicional
Definição: chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional um
proposição representada por “p se, e somente se, q” cujo valor lógico é a
verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a
falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente, a bicondicional indica-se por “p ↔ q” e pode ser lida também
das seguintes formas:
i. p é condição necessária e suficiente para q.
ii. q é condição necessária e suficiente para p.
Segue a tabela verdade para a condicional:
p | q | p ↔ q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
Exemplos:
Sejam as proposições simples da seção anterior.
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das simples:
P = p ↔ q. (F)
Q = s ↔ r. (F)
R = q ↔ s.(V)
S = r ↔ p. (V)
Exemplos Gerais:
(CETRO / FUNAI – 2010). Sabe-se que Aline estar viajando é condição
necessária para Sandra trabalhar e condição suficiente para Virginia sair com
Lineu. Sabe-se, também, que Virgínia sair com Lineu é condição necessária e
suficiente para a Paula sair com Jean. Assim, quando Paula não sai com Jean:
A. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
B. Aline viaja, Sandra não trabalha e Virgínia sai com Lineu.
C. Aline não viaja, Sandra não trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
D. Aline viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
E. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia sai com Lineu.
Para este tipo de problema, muito comum em concursos, o primeiro passo para
compreendê-lo é identificar as proposições simples e compostas bem como
nomeá-las. Assim, temos:
p: Aline está viajando.
q: Sandra trabalha.
r: Virgínia sai com Lineu.
s: Paula sai com Jean.
De acordo com o enunciado, faremos agora a representação simbólica das
proposições compostas:
P: q → p
Q: p → r
Faremos por partes:
verdadeiras ou ambas falsas. Considerando as proposições p, q, r e s
verdadeiras, se Paula não sai com Jean, temos a negação da proposição s, ou
seja:
~s: Paula não sai com Jean.
bicondicional) devemos então negar r, ou seja:
~r: Virgínia não sai com Lineu.
Virgínia sai com Lineu.
Continuando, temos:
Como Q: p → r é verdadeira, se tivermos a negação de r, necessariamente
temos que negar p para que Q: p → r continue sendo verdadeira, pois Q: p → r
é uma condicional (verificar tabela verdade para condicional), Assim:
~p: Aline não está viajando.
está viajando.
Dando seqüência, temos então:
Como P: q → p é uma condicional verdadeira, se tivermos a negação de p,
então devemos negar q, pois caso contrário P: q → p seria falsa (observar
tabela verdade da condicional), ou seja:
~q: Sandra não trabalha.
Assim, nos resta a opção C, que é no caso a opção correta
Referência Bibliográfica.
ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1986. 203 p.
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